UNIVERSITATEA din BUCURES¸TI FACULTATEA de FIZICA˘ CATEDRA de FIZICA˘ TEORETICA˘ ¸si MATEMATICI Radu Paul LUNGU ˘ TEORIA CUANTICA A SISTEMELOR DE PARTICULE IDENTICE Volumul I BUCURES¸TI - 2011 - Prefa¸t˘a Prezenta lucrare se adreseaza˘ˆın primul rˆand studen¸tilor de la masterat (studii aprofundate), sec¸tia Fizica˘ teoretic˘a; totu¸si, pentru a avea o prezentare coerenta˘ a problemelor fundamen- tale ale Teoriei cuantice a sistemelor de particule identice, a fost necesar s˘a se includa˘ material suplimentar, astfelˆıncaˆt aceast˘a lucrare se adreseaza˘ de asemenea doctoranzilor. Materialul con¸tinut ˆın prezentul manual este rodul activit˘a¸tii didactice (curs ¸si seminar) a autoruluiˆın ultimii 20 de aniˆın domeniul Teoriei cuantice a sistemelor de particule identice. La elaborareaacesteilucr˘ariautorula luatˆınconsiderareexisten¸ta unuinum˘arapreciabilde lucr˘ari diverse pe aceast˘a tem˘a, ap˘aruteˆın ultimii 50 de ani, dintre care se remarca˘ prin rigurozitate, completitudine ¸si claritateˆın primul rˆand lucrarea Quantum Theory of Many Particle Systems cu autorii A. L. Fetter ¸si J. D. Walecka. Totu¸si, din experien¸ta avuta˘ˆın ultimii ani, legata˘ de predarea cursului¸si seminarului de Teoria cuantic˘a a sistemelor de particule identice, a rezultat ca˘ utilizarea direct˘a a unei lucr˘ari din literatura de specialitate nu este convenabila˘, deoareceˆın oricare dintre lucr˘arile de prestigiu ale acestui domeniu exist˘a foarte multe subiecte exprimate eliptic, astfelˆıncaˆtcititorultrebuies˘afie capabils˘aadaugeprinfor¸te propriichestiunisuplimen- tare, necesareˆın¸telegerii corespunza˘toare a textului. Din discu¸tiile avute cu mul¸ti studen¸ti, ˆın ultimiiiani,arezultatca˘estefoartedificils˘aseutilizezeˆınmoddirectchiar¸silucrarealuiFetter ¸si Walecka, fiind absolut necesar cursul predat de o persoan˘a autorizat˘a, a¸sa cum este autorul acestei lucr˘ari. Pe baza observa¸tiei anterioare autorul a ajuns la concluzia ca˘ este necesar˘a o lucrareˆın care s˘a se prezinteˆın mod coerent ¸si complet problemele fundamentale ale acestui domeniu, ¸tinˆand seama de programa analitic˘a de fizic˘a teoretic˘a ¸si de matematici pentru studen¸tii Facult˘a¸tii de Fizic˘a a Universit˘a¸tii din Bucure¸sti. Ca urmare, autorul a ca˘utat s˘a prezinte materialul astfel ˆıncaˆt studentul care a ajuns la masterat (sau doctorandul) s˘a poata˘ˆın¸telegeˆıntregul material, f˘ar˘a s˘a fie nevoit s˘a consulte lucr˘arisuplimentare. De asemenea,autorul a luatˆınconsiderare ca˘ beneficiarii acestui manual nu sunt interesa¸ti s˘a parcurg˘aˆıntregul material prezentatˆın aceast˘a lucrare (cu rare excep¸tii, care nu trebuie luateˆın considerare); ˆın consecin¸t˘a, autorul a ca˘utat maxim posibil s˘a redacteze capitolele lucr˘arii astfel ˆıncaˆt textul din fiecare capitol sa fie caˆt mai pu¸tin posibil dependent de alte capitole corespunza˘toare aceleia¸si pa˘r¸ti a acestei lucr˘ari. Pentru a realiza acest deziderat prezentarea materialului s-a f˘acut mai detaliat decˆat ˆın alte lucr˘aricucaracterdemanual¸sinus-auevitatrepeti¸tiileatuncicaˆnduntextmaiscurtarfif˘acut dificil˘alecturapar¸tial˘aaacesteilucr˘ari;astfels-aajunslaolucrarecudimensiunimaimaridecˆat lucr˘arilesimilarepublicateˆınliteratura˘¸sicarecon¸tineˆınmodvoitredundan¸te. Totu¸si,avantajul acesteiprezenta˘riesteautonomiadiferitelorcapitole,astfelˆıncaˆtesteposibils˘asestudiezeˆınmod independent unele capitole ale acestei lucr˘ari. Ca urmare a considerentelor prezentate, autorul considera˘ca˘aceast˘alucrareestemultmaiexplicit˘a¸simaiclar˘adecˆatrestullucr˘arilor,chiardac˘a pre¸tul este dimensiunea mare a lucr˘arii prezente. Lucrarea este structurata˘ˆın 2 volume ¸si materialul prezentat este organizat astfel. Volumul 1 intitulat Formalismul general, prezinta˘ principalele concepte, care sunt legate de teoria perturbativ˘a ¸si metoda func¸tiilor Green pentru descrierea proprieta˘¸tilor unui sistem cu- antic de particule identice, care este fie ˆın starea fundamentala˘, fie la echilibru termodinamic corespunza˘tor unei temperaturi finite; acest volum con¸tine urm˘atoarele capitole. 1. Formalismul general al mecanicii cuantice care constituie o completare a cursului ge- neral din anii II ¸si III, corespunza˘tor necesit˘a¸tilor prezenta˘rii teoriei perturba¸tiilor pentru func¸tiile Green. Se face o prezentare general˘aa mecanicii cuanticeˆın varianta ondulatorie, i ii careestevariantaelementara˘,iarapoiseconstruie¸stef˘ar˘aunabuzderigurozitatematema- tica˘, formalismul generalal mecanicii cuantice; aceasta implica˘ atˆat formularea abstact˘a¸si utilizareateorieireprezenta˘rilor,caˆt¸siprezentareaprincipalelorproprieta˘¸tialeformul˘arilor Heisenberg¸si de interac¸tie, pentru descrierea evolu¸tiei temporale a sistemului cuantic. 2. Descrierea st˘arilor ¸si observabilelor sistemelor multi-particule se prezinta˘ ini¸tial,ˆın moddetaliat,st˘arileuni-particul˘a¸sidescriereast˘arilorsistemuluicumulteparticuleidentice ˆın cadrul formalismului Cuantific˘arii I; apoi se construie¸steˆın mod minimal formalismul Cuantific˘arii II, introducˆandu-se numai acele no¸tiuni necesare teoriei nerelativiste pentru sisteme de particule. ˆIn final se deduce seria de perturba¸tie Feynman-Dyson, bazat˘a pe metoda introducerii adiabatice a interac¸tiei. 3. Formalismul de temperatur˘a nul˘a pentru fermioni prezinta˘ ini¸tial sistemul de fermi- oni liberiˆın formalismul particula˘-gol, iar apoi se deduce teorema Wick. ˆIn continuare se prezinta˘ˆın mod detaliat principalele proprieta˘¸ti generale ale func¸tiilor Green uni-particule (cauzal˘a, retardata˘ ¸si avansat˘a); apoi se construie¸steˆın mod explicit seria de perturba¸tie pentru func¸tia Green cauzala˘¸si se deduc regulile diagramatice Feynman. Cu ajutorul seriei de perturba¸tie Feynman-Dyson se prezinta˘ func¸tia de corela¸tie a fluctu- a¸tiilor densita˘¸tii de particule, care este exprimata˘ diagramatic prin polarizare. 4. Formalismul de temperatur˘a nul˘a pentru bosoni se prezinta˘ descrierea sistemului bo- sonicˆıncondi¸tiidecondensareBose-Einstein,prinutilizareaaproxima¸tieiBogoliubov. Apoi se definesc func¸tiile Green¸si se prezinta˘ principalele lor proprieta˘¸ti;ˆın mod similar cazului fermionic se construiesc seriile de perturba¸tie pentru func¸tiile Green ¸si se deduc ecua¸tiile Dyson-Beliaev. Rezultatele generale anterioarese particularizeaz˘apentru cazul sistemului bosonic cu inte- rac¸tii slabe. 5. Teoria cˆampului la temperatur˘a finit˘a prezinta˘ formalismulMatsubarapentru func¸tiile Green temice,ˆımpreun˘a cu seria de perturba¸tie Feynman-Matsubara. Apoi se studiaz˘a func¸tiile Green termice de timp real ¸si se deduc rela¸tiile acestor func¸tii Green cu func¸tiile Green-Matsubara. ˆInfinalsestudiaz˘afunc¸tiiledecorela¸tiealefluctua¸tiilordedensitate¸sipolarizareatermica˘. Volumul 2, intitulat Probleme speciale, prezinta˘ chestiunile complementare fundamentale pentru descrierea sistemelor cuantice cu particule identice; primele 3 capitole prezinta˘ cele mai importante metode de aproxima¸tie a seriei de perturba¸tie pentru func¸tia Green uni-particul˘a cauzala˘, iar ultimele capitole descriu metode speciale de studiu. 6. Aproxima¸tia Hartree-Fock prezinta˘aproxima¸tiaminimal˘aself-consistenta˘(echivalenta˘cu aproxima¸tia Hartree-Fock din fizica atomic˘a), atˆat la temperatur˘a nul˘a, caˆt ¸si la tempe- ratura˘ finit˘a; rezultatele generale sunt particularizate pentru sisteme bosonice ¸si sisteme fermionice cu interac¸tii slabe. 7. Aproxima¸tia fazelor aleatoare studiaz˘a aproxima¸tia diagramelor inelare pentru modelul de gaz electronic uniform (numit modelul “jellium”), aceast˘a aproxima¸tie fiind echivalenta˘ cu aproxima¸tia fazelor aleatoare;ˆın cadrul acestei aproxima¸tii se deduce energia st˘arii fun- damentale a sistemului electronic ¸si proprieta˘¸tile termodinamice la temperatur˘a finit˘a ale acestui sistem. 8. Aproxima¸tia scar˘a se define¸ste pentru descrierea unui sistemˆın care particulele interac¸ti- oneaz˘a prin procese de tip ciocniriˆıntre sfere rigide. Se construiesc seriile de perturba¸tie pentrufunc¸tiile Green¸siecua¸tiile Galitskiatˆatˆıncazulsistemuluifermionic,caˆt¸siˆıncazul sistemului bosonic. 9. Teoria r˘aspunsului liniar este aproxima¸tiaˆın care sistemul prezinta˘ o perturba¸tie slab˘a¸si m˘arimile sale caracteristice legate de aceast˘a perturba¸tie se exprima˘ˆın termeni de m˘arimi iii neperturbate;ˆıncazulcaˆndperturba¸tiaestecuplata˘cusistemulstudiatprinfluctua¸tiilede densitate,atuncir˘aspunsulsistemuluiseexprima˘ˆıntermenidefunc¸tiedecorela¸tie,careeste directlegata˘ de polarizare. Rezultatele generalese particularizeaz˘apentru gazulelectronic descris ˆın aproxima¸tia fazelor aleatoare, ob¸tinˆandu-se ecranarea ¸si oscila¸tiile plasmonice, atˆat la temperatur˘a nul˘a, caˆt ¸si la temperatur˘a finia˘. 10. Transform˘ari canonice seprezinta˘ˆınmoddetaliataproximareaBogoliubovahamiltonia- nului ¸si apoi transformarea canonic˘a care diagonalizeaza˘ acest hamiltonian, atˆatˆın cazul bosonic, caˆt¸siˆın cazul fermionic; apoi se prezinta˘ principalele consecin¸te ale diagonaliza˘rii specificate anterior. 11. Metoda ecua¸tiei de mi¸scare esteprezentata˘ˆıncazulgeneral,iarapoiseparticularizeaz˘a pentru cele mai reprezentative situ¸tii: fermioni liberi, electroni cu interac¸tii coulombiene, bosoni supra-fluizi¸si fermioni supra-conductori. 12. Fermioniˆın cˆamp extern se prezinta˘ construc¸tia seriei de perturba¸tie cu diagrame ar- borescente pentru un sistem de fermioni independen¸ti, care interac¸tioneaza˘ cu un caˆmp extern; rezultatele generale (ataˆtˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a, caˆt ¸siˆın formalis- mul de temperatur˘a finit˘a) se particularizeaz˘a pentru cazul unui cuplaj magnetic de spin, ob¸tinˆandu-se magnetizarea corespunza˘toare. 13. Formalismul cˆampurilor cuplate este aplicat pentru cazul gazului electronic aflat ˆın interac¸tiecuvibra¸tiilere¸teleicristalineionice. Sestudiaz˘aini¸tialre¸teauaionica˘ˆınaproxima- ¸tiademediucontinuuelastic,ob¸tinˆandu-semodeluldegazfononicideal. Apoiseintroduce interac¸tia electroni-fononiˆın aproxima¸tia Fr¨ohlich ¸si se construiesc seriile de perturba¸tie pentru func¸tiile Green electronica˘¸si fononica˘ prin utilizarea metodei de renormare,atˆat la temperatura nul˘a, caˆt¸si la temperatur˘a finit˘a. ˆIn final se prezinta˘ principalele rezultate asupra r˘aspunsului liniar al gazului de electroni afla¸tiˆın interac¸tie cu fononi. A. Anexa matematic˘a con¸tine prezentarea succinta˘ ¸si f˘ar˘a rigurozitate matematic˘a a unor probleme de matematic˘a pur˘a care sunt utilizateˆın mod repetatˆın teoria cuantica˘ a siste- melor de particule identice. Aceast manual va fi completat cu urm˘atoarele lucr˘ari, care ˆın prezent se afl˘a ˆın curs de redactare, ambele avˆand ca autori Virgil B˘aran ¸si Radu Paul Lungu. 1. Bazele teoriei cuantice a sistemelor de particule identice,ˆın care se va face o pre- zentare mai elementara˘ ¸si mai fizic˘a a principalelor probleme asupra sistemelor cuantice constituite din particuleidentice; ca urmare,aceast˘alucraresuplimentara˘poatefi conside- rata˘ o introducereˆın raport cu prezentul manual. 2. Aplica¸tii ale teoriei cuantice a sistemelorde particule identice,ˆıncaresevautiliza materialul prezentatˆın acest manual¸si se vor studia sisteme complexe reprezentative: sis- temul supra-fluid, sistemul supra-conductor, nucleul atomic;ˆın consecin¸t˘a, aceast˘a lucrare ar trebui considerata˘ ca fiind al treilea volum al prezentului manual. Autorul dore¸ste s˘a mul¸tumeasc˘aˆın mod deosebit Domnului Profesor Dr. Virgil B˘aran, care a f˘acut recenzia, pentru lectura atenta˘ a acestei voluminoase lucr˘ari ¸si pentru indica¸tiile asupra modific˘arilor de text, care au condus la oˆımbun˘at˘a¸tire semnificativ˘a a materialului prezentat. Septembrie, 2011 Radu Paul Lungu Bucure¸sti iv Cuprins Prefa¸t˘a i I Formalismul general 1 1 Formalismul general al mecanicii cuantice 3 1.1 Fundamentele mecanicii cuantice ondulatorii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Formularea general˘a a mecanicii cuantice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Formularea Schr¨odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Formularea Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.3 Formularea de interac¸tie (Dirac) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.4 Observa¸tii generale asupra formul˘arilor anterioare . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3 Reprezenta˘ri ale mecanicii cuantice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.1 Reprezenta˘ri discrete ¸si continue (trata˘ri generale) . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.2 Reprezentarea coordonatelor de pozi¸tie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 Descrierea st˘arilor ¸si observabilelor sistemelor multi-particule 35 2.1 Observa¸tii generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Descrierea sistemului N-particuleˆın Cuantificarea I-a . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.1 Condi¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.2 Definirea operatorilor sistemului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.3 St˘ari proprii uni-particul˘a (sta˘ri impuls-spin) . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.4 Reprezentarea coordonatelor pentru o particula˘ . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.5 Starea sistemului multi-particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3 Descrierea sistemului many-bodyˆın Cuantificarea II . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3.1 Formalismul numerelor de ocupare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3.2 Operatori de caˆmp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.3.3 Operatori asocia¸ti observabilelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.3.4 Rela¸tii de comutare remarcabile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.4 Formul˘arile Dirac ¸si Heisenbergˆın Cuantificarea II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.4.1 Observa¸tii preliminare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.4.2 Formularea de interac¸tie (Dirac) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.4.3 Formularea Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.4.4 Dezvoltarea perturbativ˘a Feynman-Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3 Formalismul de temperatur˘a nul˘a pentru fermioni 107 3.1 Sistemul de fermioni liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 3.1.1 Definirea sistemului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 3.1.2 St˘ari excitate ¸si formalismul particula˘-gol . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 3.1.3 Contrac¸tii ¸si teorema Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120 3.2 Func¸tii Green fermionice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132 3.2.1 Defini¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132 3.2.2 Propriet˘a¸ti generale ale func¸tiilor Green uni-particul˘a . . . . . . . . . . . .134 3.2.3 Func¸tia Green cauzala˘ liber˘a (uni-particula˘) . . . . . . . . . . . . . . . . . .151 3.2.4 Interpretarea fizic˘a a func¸tiei Green cauzale . . . . . . . . . . . . . . . . . .155 v vi CUPRINS 3.2.5 Ecua¸tia de evolu¸tie pentru func¸tia Green uni-particul˘a cauzala˘ . . . . . . .165 3.2.6 Rela¸tiile dintre func¸tiile Green¸si observabile . . . . . . . . . . . . . . . . .170 3.3 Calculul perturba¸tional al func¸tiei Green cauzale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177 3.3.1 Func¸tia Greenˆın spa¸tiul coordonate-timp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177 3.3.2 Func¸tia Greenˆın spa¸tiul impuls-frecven¸t˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198 3.4 Polarizarea¸si interac¸tia efectiv˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222 3.4.1 Defini¸tii ¸si proprieta˘¸tiˆın spa¸tiul pozi¸tii-timp . . . . . . . . . . . . . . . . .222 3.4.2 Defini¸tii ¸si proprieta˘¸tiˆın spa¸tiul impuls-frecven¸t˘a . . . . . . . . . . . . . . .229 3.4.3 Calculul polariz˘ariide ordinul minim (ordinul 0) . . . . . . . . . . . . . . .233 3.5 Func¸tii de corela¸tie pentru densitatea de particule . . . . . . . . . . . . . . . . . .247 3.5.1 Func¸tii de corela¸tie pentru densita˘¸ti de observabile uni-particul˘a . . . . . .247 3.5.2 Func¸tii de corela¸tie pentru densitatea de particule . . . . . . . . . . . . . .248 4 Formalismul de temperatur˘a nul˘a pentru bosoni 261 4.1 Formularea problemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261 4.1.1 Sistemul bosonicˆın starea fundamentala˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261 4.1.2 Aproxima¸tia Bogoliubov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .263 4.1.3 Descrierea grand-canonic˘a a sistemului bosonicˆın aproxima¸tia Bogoliubov .269 4.2 Func¸tii Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .277 4.2.1 Defini¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .277 4.2.2 Propriet˘a¸ti generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .279 4.2.3 Func¸tia Green liber˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 4.2.4 Rela¸tia dintre func¸tia Green¸si observabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . .286 4.3 Teoria perturba¸tionala˘ pentru func¸tiile Green bosonice . . . . . . . . . . . . . . . .295 4.3.1 Probleme preliminare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .295 4.3.2 Analiza diagramatica˘ˆın spa¸tiul pozi¸tii-timp . . . . . . . . . . . . . . . . . .298 4.3.3 Analiza diagramatica˘ˆın spa¸tiul impuls-frecven¸t˘a . . . . . . . . . . . . . . .318 4.3.4 Ecua¸tii Dyson-Beliaev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 4.3.5 Rela¸tia Hugenholtz-Pines pentru poten¸tialul chimic . . . . . . . . . . . . .335 4.4 Gazul bosonic cu interac¸tii slabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .337 4.4.1 Condi¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .337 4.4.2 Rezultatele teoriei perturba¸tiilorˆın ordinul 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .337 4.4.3 Consecin¸te ale func¸tiilor Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .338 5 Teoria cˆampului la temperatur˘a finit˘a 341 5.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .341 5.2 Func¸tii Green-Matsubara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .345 5.2.1 Defini¸tii ¸si proprieta˘¸ti generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .345 5.2.2 Ecua¸tia diferen¸tial˘a a func¸tiei Green-Matsubara . . . . . . . . . . . . . . .350 5.2.3 Rela¸tia dintre func¸tiile Green-Matsubara¸si observabile . . . . . . . . . . . .353 5.2.4 Func¸tia Green-Matsubara pentru sistemul liber . . . . . . . . . . . . . . . .359 5.2.5 Calculul perturba¸tional al func¸tiei Green-Matsubara . . . . . . . . . . . . .371 5.3 Func¸tii Green termice de timp real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .399 5.3.1 Defini¸tii ¸si proprieta˘¸ti generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .399 5.3.2 Reprezentarea Lehmann¸si consecin¸te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .402 5.3.3 Ecua¸tiile diferen¸tiale ale func¸tiilor Green termice de timp real . . . . . . . .416 5.3.4 Rela¸tia dintre func¸tiile Green termice de timp real¸si observabile . . . . . .420 5.3.5 Func¸tiile termice de timp real libere uni-particul˘a . . . . . . . . . . . . . . .424 5.4 Polarizarea¸si interac¸tia efectiv˘a termice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .428 5.4.1 Defini¸tii ¸si proprieta˘¸tiˆın spa¸tiul pozi¸tii-pseudo-timpi . . . . . . . . . . . . .428 5.4.2 Defini¸tii ¸si proprieta˘¸tiˆın spa¸tiul impuls-frecven¸t˘a . . . . . . . . . . . . . . .430 5.4.3 Calcului polariz˘ariitermice de ordinul zero . . . . . . . . . . . . . . . . . .432 5.5 Func¸tii de corela¸tie pentru densitatea de particule . . . . . . . . . . . . . . . . . .440 5.5.1 Func¸tii de corela¸tie pentru densita˘¸ti de observabile uni-particul˘a . . . . . .440 5.5.2 Func¸tii de corela¸tie pentru densitatea de particule . . . . . . . . . . . . . .441 CUPRINS vii II Probleme speciale 1 Aplicarea metodelor func¸tiilor Green 3 6 Aproxima¸tia Hartree-Fock 5 6.1 Aproxima¸tia Hartree-Fockˆın teoria sistemelor multi-particule . . . . . . . . . . . . 5 6.2 Aproxima¸tia Hartree-Fockˆın formalismul T =0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6.2.1 Condi¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6.2.2 Determinarea func¸tiei Green libere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6.2.3 Explicitarea analitic˘a a ecua¸tiilor Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . 10 6.2.4 Forma uni-particul˘a a ecua¸tiilor Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 6.2.5 Energia st˘arii fundamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6.2.6 Cazul sistemului f˘ar˘a interac¸tii externe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 6.3 Aproxima¸tia Hartree-Fock la temperatur˘a finit˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6.3.1 Rezultate generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6.3.2 Gazul bosonic imperfect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6.3.3 Gazul fermionic imperfect la temperaturi mici. . . . . . . . . . . . . . . . . 30 7 Aproxima¸tia fazelor aleatoare 41 7.1 Sistemul electronicˆın modelul “jellium” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7.2 Interac¸tia coulombiana˘ efectiv˘aˆın aproxima¸tia RPA . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 7.3 Energia st˘arii fundamentale pentru modelul jellium . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 7.3.1 Metoda Brueckner¸si Gell-Mann (utilizarea self-energiei) . . . . . . . . . . . 57 7.3.2 Metoda Hubbard (utilizarea func¸tiei de corela¸tie a densita˘¸tii de particule) . 73 7.4 Gazul electronic la temperatur˘a finit˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 7.4.1 Condi¸tii ¸si formularea modelului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 7.4.2 Evaluarea self-energiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 7.4.3 Poten¸tialul grand-canonicˆın aproxima¸tia inelar˘a (RPA) . . . . . . . . . . . 89 7.4.4 Limita clasic˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7.4.5 Limita temperaturilor joase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 8 Aproxima¸tia scar˘a 119 8.1 Gaze fermionice imperfecte la temperatur˘a nul˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119 8.1.1 Ciocnirea (ˆımpra˘¸stierea)pe o sfer˘a rigida˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119 8.1.2 Aproxima¸tia diagramelor scar˘a pentru gazul fermionic imperfect . . . . . .130 8.1.3 Ecua¸tiile integrale Galitski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140 8.1.4 Self-energiaˆın aproxima¸tia scar˘a¸si la limita k a 1 . . . . . . . . . . . .148 F ≪ 8.1.5 Spectrul excita¸tiilor elementare tip uni-particul˘a . . . . . . . . . . . . . . .152 8.1.6 Energia st˘arii fundamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156 8.1.7 Justificarea aproxima¸tiei scar˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159 8.1.8 Aplicabilitatea teoriei Galitski¸si generaliz˘ari . . . . . . . . . . . . . . . . .162 8.2 Gaze bosonice imperfecte la temperatur˘a nul˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163 8.2.1 Condi¸tii ¸si aproxima¸tii fundamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163 8.2.2 Aproxima¸tia diagramelor scar˘a pentru gazul bosonic imperfect . . . . . . .165 8.2.3 Ecua¸tiile Galitski bosonice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 8.2.4 Self-energiileˆın aproxima¸tia scar˘a¸si limita undelor lungi. . . . . . . . . . .172 8.2.5 Poten¸tialul chimic (ˆın aproxima¸tia scar˘a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173 8.2.6 Func¸tiile Greenˆın aproxima¸tia scar˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175 8.2.7 Ma˘rimile fizice ¸si corec¸tiile de ordin minim . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 9 Teoria r˘aspunsului liniar 181 9.1 Cazul fermionicˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a . . . . . . . . . . . . . . . . .181 9.1.1 Ra˘spunsul liniar al sistemului la o perturba¸tie extern˘a (cazul general) . . .181 9.1.2 Exprimarea r˘aspunsului liniar prin func¸tia de corela¸tie retardata˘ . . . . . .183 9.1.3 Cazul perturba¸tiei cuplate prin densitatea de particule . . . . . . . . . . . .185 9.2 Formalismul de temperatur˘a finit˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188 9.2.1 Ra˘spunsul liniar al sistemului la o perturba¸tie extern˘a (cazul general) . . .188 viii CUPRINS 9.2.2 Exprimarea r˘aspunsului liniar prin func¸tia de corela¸tie retardata˘ . . . . . .190 9.2.3 Cazul perturba¸tie cuplata˘ prin densitatea de particule . . . . . . . . . . . .193 9.3 Ra˘spunsul liniar al sistemului electronic cu densitate mare . . . . . . . . . . . . . .195 9.3.1 Ecranarea gazului electronic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195 9.3.2 Oscila¸tii plasmonice ale gazului electronic . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206 9.3.3 Modele semi-clasice pentru gazul electronic . . . . . . . . . . . . . . . . . .210 9.4 Sunetul de zero (ˆıntr-un gaz fermionic) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217 10 Transform˘ari canonice 223 10.1 Sisteme bosonice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223 10.1.1 Condi¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223 10.1.2 Aproxima¸tia Bogoliubov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 10.1.3 Transformarea canonic˘a Bogoliubov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227 10.1.4 Aproxima¸tia pseudo-poten¸tialului. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233 10.1.5 Comentariu asupra aproxima¸tiilor de ordine superioare. . . . . . . . . . . .241 10.2 Sisteme fermionice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .241 10.2.1 Condi¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .241 10.2.2 Transformarea canonic˘a Bogoliubov-Valatin . . . . . . . . . . . . . . . . . .244 10.2.3 Determinarea coeficien¸tilor transform˘ariicanonice . . . . . . . . . . . . . .255 10.2.4 Solu¸tiile ecua¸tiior BCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 11 Metoda ecua¸tiei de mi¸scare 267 11.1 Principiul metodei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .267 11.2 Sistemul de fermioni liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .270 11.3 Sistemul electronic cu interac¸tii coulombiene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272 11.4 Sistemul bosonic supra-fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .284 11.5 Sistemul fermionic supraconductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .288 12 Fermioniˆın cˆamp extern 297 12.1 Formularea problemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .297 12.2 Formalismul de temperatur˘a nul˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .298 12.2.1 Func¸tia Green liber˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .298 12.2.2 Func¸tia Green¸si seria de perturba¸tieˆın spa¸tiul pozi¸tii-timpi . . . . . . . . .298 12.2.3 Func¸tia Greenˆın spa¸tiul impuls-frecven¸t˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . .304 12.2.4 Ecua¸tii Dyson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 12.2.5 Cazul cuplajului cu un caˆmp magnetic uniform . . . . . . . . . . . . . . . .308 12.3 Formalismul de temperatur˘a finit˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .312 12.3.1 Probleme generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .312 12.3.2 Func¸tia Green-Matsubara liber˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .313 12.3.3 Func¸tia Green-Matsubaraˆın spa¸tiul pozi¸tii-pseudo-timpi . . . . . . . . . . .314 12.3.4 Func¸tia Green-Matsubaraˆın spa¸tiul impuls-frecven¸t˘a . . . . . . . . . . . . .320 12.3.5 Ecua¸tii Dyson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 12.3.6 Cazul cuplajului cu un caˆmp magnetic uniform . . . . . . . . . . . . . . . .325 13 Formalismul cˆampurilor cuplate 333 13.1 Modelul sistemului electroni-fononi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .333 13.1.1 Observa¸tii preliminare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .333 13.1.2 Dinamica re¸teleiˆın aproxima¸tia armonica˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .334 13.1.3 Interac¸tia electron-fonon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .343 13.1.4 Ecua¸tiile operatorului de caˆmp fononic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .347 13.1.5 Ecua¸tiile operatorului de caˆmp electronic . . . . . . . . . . . . . . . . . . .351 13.2 Formalismul caˆmpurilor cuplate la temperatur˘a nul˘a . . . . . . . . . . . . . . . . .353 13.2.1 Func¸tii Green fononice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .353 13.2.2 Func¸tii Green electronice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .363 13.2.3 Analiza diagramatica˘ la temperatur˘a nul˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . .365 13.3 Formalismul caˆmpurilor cuplate la temperatur˘a finit˘a . . . . . . . . . . . . . . . .406 13.3.1 Defini¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .406