JINDŘICH BEČVÁŘ LINEÁRNÍ ALGEBRA matfyzpress PRAHA 2005 Všechna práva vyhrazena. Tato publikace ani žádná její část nesmí být rep rod uk o ván a nebo šíř e na v žádné formě, elekt ron ic ké nebo mec ha nick é, včetně fot o ko pií, bez pís emn é ho sou- hlas u vydavatele. © Jindřich Bečvář, 2005 © MATFYZPRESS, vydavatelství Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy v Praze, 2005 ISBN 80-86732-57-6 ISBN 80-85863-92-8 (druhé vydání) ISBN 80-85863-61-8 (první vydání) V lineární algebře se studují objekty tří typů: ma- tice, prostory a algebraické formy. Teorie těchto ob- jektů jsou navzájem těsně spjaty. Většina úloh line- ární algebry připouští přirozenou formulaci v které- koliztěchtotříteorií.Maticováformulacejeobyčejně nejvhodnější pro výpočetní stránku věci. V geometrii a mechanice vzniká většina úloh lineární algebry jako úlohy zkoumající algebraické formy. Nejhlubšího po- chopení vnitřních souvislostí mezi různými úlohami lineárníalgebrysedosáhnepouzevyšetřovánímodpo- vídajících lineárních prostorů, které jsou proto hlav- ním předmětem studia lineární algebry. A. I. Mal’cev (1909–1967)1 1Osnovy linejnoj algebry,třetívydánízroku1970,resp.čtvrtévydánízroku1975,str.9. 5 OBSAH Předmluva................................................................7 I. ALGEBRAICKÝ ÚVOD 1. Množiny a zobrazení......................................................9 2. Tělesa...................................................................18 3. Okruhy, obory integrity..................................................27 4. Matice...................................................................32 5. Grupy...................................................................45 6. Permutace...............................................................51 II. VEKTOROVÉ PROSTORY 7. Prostory a podprostory...................................................61 8. Lineární závislost a nezávislost...........................................78 9. Direktní součet...........................................................94 10. Homomorfismy..........................................................101 III. MATICE 11. Maticová reprezentace homomorfismů...................................123 12. Hodnost matice, elementární úpravy.....................................133 13. Soustavy lineárních rovnic...............................................153 14. Determinanty...........................................................164 15. Metody výpočtu determinantů..........................................185 IV. PODOBNOST 16. Polynomiální matice....................................................197 17. Charakteristický a minimální polynom, vlastní čísla a vlastní vektory....219 18. Podobnost, Jordanův kanonický tvar....................................235 19. Weyrova teorie charakteristických čísel..................................265 20. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty.....282 6 V. FORMY 21. Lineární formy..........................................................299 22. Semilineární formy na komplexních prostorech...........................322 23. Bilineární a kvadratické formy...........................................326 24. Seskvilineární a kvadratické formy na komplexních prostorech............344 25. Hermitovské a symetrické formy.........................................354 VI. SKALÁRNÍ SOUČIN 26. Unitární prostory.......................................................361 27. Unitární zobrazení......................................................382 28. Gramovy matice a determinanty ........................................388 29. Adjungované a samoadjungované homomorfismy.........................395 30. Formy na unitárních prostorech.........................................406 31. Pseudoinverzní homomorfismy a matice..................................414 Literatura..............................................................433 7 PŘEDMLUVA Lineární algebra patří k základům vysokoškolské matematiky. Na jedné straně přirozeným způsobem navazuje na některé partie matematiky středoškolské a za- řazujejedouceleného systému, nadruhéstranějedůležitým východiskem dalších matematických disciplín. Proto bývá na vysokých školách zařazována do prvního ročníku. Srovnánímvětšíhopočtuučebniclineárníalgebryjemožnosnadnonahlédnout, že vymezení obsahu této disciplíny značně kolísá, že látku je možno pojmout nej- různějším způsobem a že jednotlivé celky lze téměř libovolně permutovat. Rovněž lze zaznamenat velké rozdíly v přístupu, ve výkladu a v míře obecnosti. Někdy je lineární algebra prezentována jako soubor receptů pro řešení jednoduchých úloh (soustavy lineárních rovnic o dvou, resp. třech neznámých, determinanty druhého a třetího řádu, aplikace na analytickou geometrii v rovině a prostoru atd.), jindy je vykládána jako teorie vektorových prostorů (obecně libovolné dimenze) nad komutativním tělesem, někdy dokonce jako určitá partie teorie modulů. Tento učební text je z velké části věnován klasickým partiím lineární algebry. Snaží sepodat lineární algebru jako ucelenou algebraickou teorii vektorových pro- storůajejichhomomorfismů.2 Bylsepsánnazákladěmnoholetýchzkušenostísvý- ukou; částečně vyšel ze skript Vektorové prostory I, II, III, která byla vydávána v SPN v letech 1978 až 1989. Výklad postupuje většinou standardním způsobem; namnohamístechjsouvšakpoužitynepřílišobvyklépostupy,obratyadůkazy,kte- rými byly během let přednášky vylepšovány“. Některé paragrafy (např. poslední ” paragraf o pseudoinverzních homomorfismech a maticích) jsou pojaty netradičně. První část, která je nazvána Algebraický úvod, je přípravná. Obsahuje zejména definiceněkterýchzákladníchpojmůobecnéalgebry,kteréjsouvdalšímtextuuží- vány, a řadu příkladů; větší pozornost jezdevěnována tělesům, maticím a permu- tacím. Na několika málo místech se v dalším textu objeví v krátkých poznámkách i pojmy, které v úvodu vysvětleny nebyly (např. normální podgrupa, index pod- grupy, jádro grupového homomofismu apod.); tato skutečnost však není na újmu srozumitelnosti výkladu. Následující kapitoly Vektorové prostory, Matice, Podobnost, Formy a Skalární součin jsou již zcela věnovány lineární algebře. 2 Do značné míry tak může být průpravou pro následné studium obecné algebry, které je vsoučasnédobězařazenododruhéhoročníku. 8 Domnívám se, že není na škodu, obsahuje-li učební text i partie, které nejsou přímo obsahem kursovní přednášky (např. Weyrova teorie charakteristických čí- sel, racionální kanonické tvary matic), nebo partie, které ukazují využití lineární algebry v jiných disciplínách. Např. 20.paragraf demonstruje roli, kterou hraje Jordanův kanonický tvar, vlastní čísla a vlastní vektory při řešení soustav line- árních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Snad budou tyto partie inspirací pro další studium, snad přispějí k rozšíření obzorů. Příklady, které jsou v textu na mnoha místech uvedeny, usnadňují na jedné straně pochopení teoretických partií, na druhé straně demonstrují jednotlivé po- četní postupy. Několik příkladů využívá i poznatků (zejména z analýzy), které mohou být studentům v prvním semestru ještě cizí; většina z nich je však pro- brána během prvního ročníku studia. V seznamu literatury jsou uvedeny zejména klasické učebnice a učební texty, kteréunásvminulýchletechpodstatnýmzpůsobemvýukulineárníalgebryovliv- ňovaly. Vtomtoučebnímtextupředpokládáme,žečtenářumířešitsoustavylineárních rovnic některým ze způsobů, které se probírají na střední škole; ve 13. a 14. para- grafu se pak naučí řešit soustavy lineárních rovnic pomocí Gaussova eliminačního algoritmu, Cramerova pravidla a dalšími způsoby. Děkuji M. Hykšové, M. Němečkové a M. Ernestové, které s přípravou tohoto textu pomohly. Jindřich Bečvář 9 I. ALGEBRAICKÝ ÚVOD 1. MNOŽINY A ZOBRAZENÍ V tomto paragrafu připomeneme některé základní matematické pojmy a jejich vlastnosti, zavedeme několik symbolů a termínů; navíc stručně uvedeme některá důležitá fakta o množinách. V celém textu budeme užívat následující označení: P — množina všech prvočísel, N — množina všech přirozených čísel, tj. N= 1,2,3,... , { } Z — množina všech celých čísel, Q — množina všech racionálních čísel, R — množina všech reálných čísel, C — množina všech komplexních čísel. Budeme užívat i tzv. kvantifikátory; můžeme je chápat jako symboly pro násle- dující slovní označení: — pro každé, — existuje. ∀ ∃ V celém textu budeme předpokládat znalost základních poznatků o množinách amnožinovýchoperacích(podmnožina,sjednocení,průnik,rozdíl,kartézskýsoučin apod.). Zdůrazněme, že nelze uvažovat množinu všech množin — to vede k logickým sporům; proto se na několika místech objeví termín třída všech množin. Poznamenejme,žeodmnožinyjetřebaodlišovatsoubor;zatímcomnožinaobsa- hujeprvky navzájem různé, v souboru semohou prvky i vícekrát opakovat. Např. 1,1,2,1,3,2,2,3,2,3 jesoubor,kterýobsahujeprvek1třikrát,prvek2čtyřikrát { } a prvek 3 třikrát. Často se setkáme s tzv. indexovaným souborem. Jsou-li Λ a X množiny, pak x ; α Λ , resp. x α α α Λ { ∈ } { } ∈ je indexovaný soubor prvků množiny X, jestliže x X pro každé α Λ (indexy α ∈ ∈ probíhají množinu Λ); znamená to, že každému α Λ je jednoznačně přiřazen ∈ prvek x X. Znovu zdůrazněme, že jednotlivé prvky x nemusí být navzájem α α ∈ různé. V následujícím odstavci budeme definovat zobrazení a některé jeho speciální typy;tytopojmyjetřebadobřepochopit,závisínatomporozuměníceléhodalšího textu. 10 I. ALGEBRAICKÝ ÚVOD 1.1. Definice. Zobrazením f množiny A do množiny B rozumíme předpis, který každému prvku a A přiřazuje právě jeden prvek f(a) B. ∈ ∈ Zobrazeníf senazývá prosté,resp.injektivní (též injekce), jestližerůznéprvky množiny A zobrazuje na různé prvky množiny B, tj. a ,a A a =a = f(a )=f(a ) . 1 2 1 2 1 2 ∀ ∈ (cid:5) ⇒ (cid:5) Řekneme,žezobrazeníf jezobrazenímmnožinyAnamnožinuB,resp.surjek- tivním zobrazením (též surjekce), jestliže na každý prvek množiny B se zobrazí alespoň jeden prvek množiny A, tj. b B a A f(a)=b . ∀ ∈ ∃ ∈ Zobrazení, které je současně injektivní a surjektivní (tj. prosté a na), se nazývá vzájemně jednoznačné, resp. bijektivní (též bijekce). Bijektivní zobrazení f mno- žinyAnamnožinuB jetedycharakterizováno touto podmínkou: prokaždéb B ∈ existuje právě jediný prvek a A, pro který je f(a)=b. ∈ 1.2. Příklady. (i) Zobrazení, které každému číslu n Z přiřazuje číslo n, je bijekce množiny Z ∈ − na množinu Z. (ii) Zobrazení, které každému číslu n Z přiřazuje číslo 2n, je injekce množiny Z ∈ do množiny Z. Toto zobrazení není surjekce, a tedy ani bijekce. (iii)Zobrazení,kterékaždémučíslun Zpřiřazuječíslo n+1,jesurjekcemnožiny ∈ | | Z na množinu N. Toto zobrazení není injekce, a tedy ani bijekce. (iv) Zobrazení, které každému číslu x R přiřazuje číslo x3, je bijekce množiny R ∈ na množinu R. (v)Zobrazení,kterékaždémučíslux Rpřiřazuječíslox2,jesurjekcemnožinyR ∈ na množinu všech nezáporných reálných čísel. Toto zobrazení není injekcí, a tedy ani bijekcí. (vi) Zobrazení, které každému číslu x R přiřazuje číslo ex, je injekce množiny R ∈ domnožinyR.TotozobrazeníjemožnochápatjakobijekcimnožinyRnamnožinu všech kladných reálných čísel. (vii) Indexovaný soubor x ; α Λ , kde pro každé α je x X, není nic jiného α α { ∈ } ∈ než zobrazení množiny Λ do množiny X. (viii) Zobrazení množiny A na množinu A, které každému prvku a A přiřadí ∈ stejný prvek a, je bijekce. Je to tzv. identita, značí se většinou symbolem 1 . A (ix) Zobrazení kartézského součinu A A do množiny A je tzv. binární operace × na množině A. Každým dvěma prvkům x,y množiny A je přiřazen jednoznačně určený prvek této množiny; často se označuje x y, xy, x+y apod. Zdůrazněme, · že obecně závisí na pořadí prvků x,y, tj. nemusí vždy být x y =y x. · ·