1 CHAPTER Matrices, Vectors, and Vector Calculus 1-1. x = x′ 2 2 x′ 1 45˚ x 1 45˚ x3 x′ 3 Axes x(cid:99) and x(cid:99) lie in the x x plane. 1 3 1 3 The transformation equations are: x(cid:99) (cid:32)x cos45(cid:113)(cid:16)x cos45(cid:113) 1 1 3 x(cid:99) (cid:32)x 2 2 x(cid:99) (cid:32)x cos45(cid:113)(cid:14)x cos45(cid:113) 3 3 1 1 1 x(cid:99) (cid:32) x (cid:16) x 1 2 1 2 3 x(cid:99) (cid:32)x 2 2 1 1 x(cid:99) (cid:32) x (cid:16) x 3 2 1 2 3 So the transformation matrix is: (cid:167) 1 1 (cid:183) 0 (cid:16) (cid:168) (cid:184) 2 2 (cid:168) (cid:184) 0 1 0 (cid:168) (cid:184) (cid:168) 1 1 (cid:184) (cid:168) 0 (cid:184) (cid:169) 2 2 (cid:185) 1 2 CHAPTER 1 1-2. a) x 3 D E γ β x O 2 α B A C x 1 From this diagram, we have OEcos(cid:68)(cid:32)OA OEcos(cid:69)(cid:32)OB (1) OEcos(cid:74)(cid:32)OD Taking the square of each equation in (1) and adding, we find OE2(cid:170)cos2(cid:68)(cid:14)cos2(cid:69)(cid:14)cos2(cid:74)(cid:186)(cid:32)OA2 (cid:14)OB2 (cid:14)OD2 (2) (cid:172) (cid:188) But 2 2 2 OA (cid:14)OB (cid:32)OC (3) and 2 2 2 OC (cid:14)OD (cid:32)OE (4) Therefore, 2 2 2 2 OA (cid:14)OB (cid:14)OD (cid:32)OE (5) Thus, cos2(cid:68)(cid:14)cos2(cid:69)(cid:14)cos2(cid:74)(cid:32)1 (6) b) x 3 D E D′ E′ θ O B B′ x2 A A′ C C′ x 1 First, we have the following trigonometric relation: 2 (cid:99)2 (cid:99) (cid:99)2 OE (cid:14)OE (cid:16)2OEOE cos(cid:84)(cid:32)EE (7) MATRICES, VECTORS, AND VECTOR CALCULUS 3 But, 2 2 2 (cid:99)2 (cid:170) (cid:99) (cid:186) (cid:170) (cid:99) (cid:186) (cid:170) (cid:99) (cid:186) EE (cid:32) OB (cid:16)OB (cid:14) OA (cid:16)OA (cid:14) OD (cid:16)OD (cid:171) (cid:187) (cid:171) (cid:187) (cid:171) (cid:187) (cid:172) (cid:188) (cid:172) (cid:188) (cid:172) (cid:188) 2 2 (cid:170) (cid:99) (cid:186) (cid:170) (cid:99) (cid:186) (cid:32) OE cos(cid:69)(cid:99)(cid:16)OEcos(cid:69) (cid:14) OE cos(cid:68)(cid:99)(cid:16)OEcos(cid:68) (cid:171) (cid:187) (cid:171) (cid:187) (cid:172) (cid:188) (cid:172) (cid:188) 2 (cid:170) (cid:99) (cid:186) (cid:14) OE cos(cid:74)(cid:99)(cid:16)OEcos(cid:74) (8) (cid:171) (cid:187) (cid:172) (cid:188) or, EE(cid:99)2 (cid:32)OE(cid:99)2(cid:170)cos2(cid:68)(cid:99)(cid:14)cos2(cid:69)(cid:99)(cid:14)cos2(cid:74)(cid:99)(cid:186)(cid:14)OE2(cid:170)cos2(cid:68)(cid:14)cos2(cid:69)(cid:14)cos2(cid:74)(cid:186) (cid:172) (cid:188) (cid:172) (cid:188) (cid:99) (cid:16)2OE OE(cid:170)(cid:172)cos(cid:68)cos(cid:68)(cid:99)(cid:14)cos(cid:69)cos(cid:69)(cid:99)(cid:14)cos(cid:74)cos(cid:74)(cid:99)(cid:186)(cid:188) (cid:32)OE(cid:99)2 (cid:14)OE2 (cid:16)2OEOE(cid:99)(cid:170)(cid:172)cos(cid:68)cos(cid:68)(cid:99)(cid:14)cos(cid:69)cos(cid:69)(cid:99)(cid:14)cos(cid:74)cos(cid:74)(cid:99)(cid:186)(cid:188) (9) Comparing (9) with (7), we find cos(cid:84)(cid:32)cos(cid:68)cos(cid:68)(cid:99)(cid:14)cos(cid:69)cos(cid:69)(cid:99)(cid:14)cos(cid:74)cos(cid:74)(cid:99) (10) 1-3. x3 A e e′ e 3 2 3 O x e e e2 2 2 e1′ 1 e e′ x 1 3 1 Denote theoriginal axes by x , x , x , and the corresponding unit vectors by e ,e , e . Denote 1 2 3 1 2 3 the new axes by x(cid:99), x(cid:99), x(cid:99) and the corresponding unit vectors by e(cid:99), e(cid:99), e(cid:99). The effect of the 1 2 3 1 2 3 rotation is e (cid:111)e(cid:99), e (cid:111)e(cid:99), e (cid:111)e(cid:99). Therefore, the transformation matrix is written as: 1 3 2 1 3 2 (cid:170)cos(cid:11)e(cid:99),e (cid:12) cos(cid:11)e(cid:99),e (cid:12) cos(cid:11)e(cid:99),e (cid:12)(cid:186) (cid:170)0 1 0(cid:186) 1 1 1 2 1 3 (cid:79)(cid:32)(cid:171)(cid:171)cos(cid:11)e2(cid:99),e1(cid:12) cos(cid:11)e2(cid:99),e2(cid:12) cos(cid:11)e(cid:99)2,e3(cid:12)(cid:187)(cid:187)(cid:32)(cid:171)(cid:171)0 0 1(cid:187)(cid:187) (cid:171)(cid:172)cos(cid:11)e3(cid:99),e1(cid:12) cos(cid:11)e3(cid:99),e2(cid:12) cos(cid:11)e(cid:99)3,e3(cid:12)(cid:187)(cid:188) (cid:171)(cid:172)1 0 0(cid:187)(cid:188) 1-4. a) LetC = AB where A,B, and C are matrices. Then, C (cid:32)(cid:166)A B (1) ij ik kj k (cid:11)Ct(cid:12) (cid:32)C (cid:32)(cid:166)A B (cid:32)(cid:166)B A ij ji jk ki ki jk k k 4 CHAPTER 1 Identifying B (cid:32)(cid:11)Bt(cid:12) and A (cid:32)(cid:11)At(cid:12) , ki ik jk kj (cid:11)Ct(cid:12) (cid:32)(cid:166)(cid:11)Bt(cid:12) (cid:11)At(cid:12) (2) ij ik kj k or, Ct (cid:32)(cid:11)AB(cid:12)t (cid:32)BtAt (3) b) To show that (cid:11)AB(cid:12)(cid:16)1 (cid:32)B(cid:16)1A(cid:16)1, (cid:11)AB(cid:12)B(cid:16)1A(cid:16)1 (cid:32)I (cid:32)(cid:11)B(cid:16)1A(cid:16)1(cid:12)AB (4) That is, (cid:11)AB(cid:12)B(cid:16)1A(cid:16)1 (cid:32)AIA(cid:16)1 (cid:32)AA(cid:16)1 (cid:32)I (5) (cid:11)B(cid:16)1A(cid:16)1(cid:12)(cid:11)AB(cid:12)(cid:32)B(cid:16)1IB(cid:32)B(cid:16)1B(cid:32)I (6) 1-5. Take(cid:79) to be a two-dimensional matrix: (cid:79) (cid:79) (cid:79)(cid:32) 11 12 (cid:32)(cid:79) (cid:79) (cid:16)(cid:79) (cid:79) (1) (cid:79) (cid:79) 11 22 12 21 21 22 Then, (cid:79)2 (cid:32)(cid:79)2(cid:79)2 (cid:16)2(cid:79)(cid:79) (cid:79) (cid:79) (cid:14)(cid:79)2(cid:79)2 (cid:14)(cid:11)(cid:79)2(cid:79)2 (cid:14)(cid:79)2(cid:79)2 (cid:12)(cid:16)(cid:11)(cid:79)2(cid:79)2 (cid:14)(cid:79)2(cid:79)2 (cid:12) 11 22 11 22 12 21 12 21 11 21 12 22 11 21 12 22 (cid:32)(cid:79)2 (cid:11)(cid:79)2 (cid:14)(cid:79)2 (cid:12)(cid:14)(cid:79)2 (cid:11)(cid:79)2 (cid:14)(cid:79)2 (cid:12)(cid:16)(cid:11)(cid:79)2(cid:79)2 (cid:14)2(cid:79)(cid:79) (cid:79) (cid:79) (cid:14)(cid:79)2(cid:79)2 (cid:12) 22 11 12 21 11 12 11 21 11 22 12 21 12 22 (cid:32)(cid:11)(cid:79)2 (cid:14)(cid:79)2 (cid:12)(cid:11)(cid:79)2 (cid:14)(cid:79)2 (cid:12)(cid:16)(cid:11)(cid:79)(cid:79) (cid:14)(cid:79) (cid:79) (cid:12)2 (2) 11 12 22 21 11 21 12 22 But since (cid:79) is an orthogonal transformation matrix, (cid:166)(cid:79)(cid:79) (cid:32)(cid:71) . ij kj ik j Thus, (cid:79)2 (cid:14)(cid:79)2 (cid:32)(cid:79)2 (cid:14)(cid:79)2 (cid:32)1 11 12 21 22 (3) (cid:79)(cid:79) (cid:14)(cid:79) (cid:79) (cid:32)0 11 21 12 22 Therefore, (2) becomes (cid:79)2 (cid:32)1 (4) 1-6. The lengths of line segments in the x and x(cid:99) systems are j j L(cid:32) (cid:166)x2 ; L(cid:99)(cid:32) (cid:166)x(cid:99)2 (1) j i j i MATRICES, VECTORS, AND VECTOR CALCULUS 5 If L(cid:32)L(cid:99), then (cid:166)x2 (cid:32)(cid:166)x(cid:99)2 (2) j i j i The transformation is x(cid:99)(cid:32)(cid:166)(cid:79)x (3) i ij j j Then, (cid:167) (cid:183)(cid:167) (cid:183) (cid:166)x2 (cid:32)(cid:166) (cid:166)(cid:79) x (cid:166)(cid:79) x j (cid:168)(cid:169) ik k(cid:184)(cid:185)(cid:168)(cid:169) i(cid:65) (cid:65)(cid:184)(cid:185) j i k (cid:65) (4) (cid:167) (cid:183) (cid:32)(cid:166)x x (cid:166)(cid:79)(cid:79) k (cid:65)(cid:168)(cid:169) ik i(cid:65)(cid:184)(cid:185) k,(cid:65) i But this can be true only if (cid:166)(cid:79)(cid:79) (cid:32)(cid:71) (5) ik i(cid:65) k(cid:65) i which is the desired result. 1-7. x 3 (0,0,1) (0,1,1) (1,1,1) (1,0,1) x (0,0,0) (0,1,0) 2 (1,0,0) (1,1,0) x 1 There are 4 diagonals: D , from (0,0,0) to (1,1,1), so (1,1,1) – (0,0,0) = (1,1,1)= D ; 1 1 D , from (1,0,0) to (0,1,1), so (0,1,1) – (1,0,0) = (–1,1,1) = D ; 2 2 D , from (0,0,1) to (1,1,0), so (1,1,0) – (0,0,1) = (1,1,–1) = D ; and 3 3 D , from (0,1,0) to (1,0,1), so (1,0,1) – (0,1,0) = (1,–1,1) = D . 4 4 The magnitudes of the diagonal vectors are D (cid:32) D (cid:32) D (cid:32) D (cid:32) 3 1 2 3 4 The angle betweenanytwo of these diagonal vectors is, for example, D (cid:152)D (cid:11)1,1,1(cid:12)(cid:152)(cid:11)(cid:16)1,1,1(cid:12) 1 1 2 (cid:32)cos(cid:84)(cid:32) (cid:32) D D 3 3 1 2 6 CHAPTER 1 so that (cid:167)1(cid:183) (cid:84)(cid:32)cos(cid:16)1(cid:168) (cid:184) (cid:32)70.5(cid:113) (cid:169)3(cid:185) Similarly, D (cid:152)D D (cid:152)D D (cid:152)D D (cid:152)D D (cid:152)D 1 1 3 (cid:32) 1 4 (cid:32) 2 3 (cid:32) 2 4 (cid:32) 3 4 (cid:32)(cid:114) D D D D D D D D D D 3 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 1-8. Let(cid:84)be the angle betweenA andr. Then, A(cid:152)r(cid:32)A2 can be written as Arcos(cid:84)(cid:32)A2 or, rcos(cid:84)(cid:32)A (1) This implies (cid:83) QPO(cid:32) (2) 2 Therefore, the end point of r must be on a planeperpendicular to A and passing throughP. 1-9. A(cid:32)i(cid:14)2j(cid:16)k B(cid:32)(cid:16)2i(cid:14)3j(cid:14)k a) A(cid:16)B(cid:32)3i(cid:16)j(cid:16)2k A(cid:16)B (cid:32)(cid:170)(cid:11)3(cid:12)2 (cid:14)(cid:11)(cid:16)1(cid:12)2 (cid:14)((cid:16)2)2(cid:186)12 (cid:172) (cid:188) A(cid:16)B (cid:32) 14 b) B θ A component of B along A The length of the component of B alongA is B cos (cid:84). A(cid:152)B(cid:32)ABcos(cid:84) A(cid:152)B (cid:16)2(cid:14)6(cid:16)1 3 6 Bcos(cid:84)(cid:32) (cid:32) (cid:32) or A 6 6 2 The direction is, of course, along A.A unit vector in the A direction is 1 (cid:11)i(cid:14)2j(cid:16)k(cid:12) 6 MATRICES, VECTORS, AND VECTOR CALCULUS 7 So the component of B alongA is 1 (cid:11)i(cid:14)2j(cid:16)k(cid:12) 2 A(cid:152)B 3 3 3 c) cos(cid:84)(cid:32) (cid:32) (cid:32) ;(cid:84)(cid:32)cos(cid:16)1 AB 6 14 2 7 2 7 (cid:84)(cid:17)71(cid:113) i j k 2 (cid:16)1 1 (cid:16)1 1 2 d) A(cid:117)B(cid:32) 1 2 (cid:16)1 (cid:32)i (cid:16)j (cid:14)k 3 1 (cid:16)2 1 (cid:16)2 3 (cid:16)2 3 1 A(cid:117)B(cid:32)5i(cid:14)j(cid:14)7k e) A(cid:16)B(cid:32)3i(cid:16)j(cid:16)2k A(cid:14)B(cid:32)(cid:16)i(cid:14)5j i j k (cid:11)A(cid:16)B(cid:12)(cid:117)(cid:11)A(cid:14)B(cid:12)(cid:32) 3 (cid:16)1 (cid:16)2 (cid:16)1 5 0 (cid:11)A(cid:16)B(cid:12)(cid:117)(cid:11)A(cid:14)B(cid:12)(cid:32)10i(cid:14)2j(cid:14)14k 1-10. r(cid:32)2bsin(cid:90)ti(cid:14)bcos(cid:90)tj v(cid:32)r(cid:5)(cid:32)2b(cid:90)cos(cid:90)ti(cid:16)b(cid:90)sin(cid:90)tj a) a(cid:32)v(cid:5) (cid:32)(cid:16)2b(cid:90)2 sin(cid:90)ti(cid:16)b(cid:90)2 cos(cid:90)tj(cid:32)(cid:16)(cid:90)2r speed(cid:32) v (cid:32)(cid:170)4b2(cid:90)2 cos2(cid:90)t(cid:14)b2(cid:90)2 sin2(cid:90)t(cid:186)12 (cid:172) (cid:188) (cid:32)b(cid:90)(cid:170)4cos2(cid:90)t(cid:14)sin2(cid:90)t(cid:186)12 (cid:172) (cid:188) speed(cid:32)b(cid:90)(cid:170)3cos2(cid:90)t(cid:14)1(cid:186)12 (cid:172) (cid:188) b) At t(cid:32)(cid:83)2(cid:90), sin(cid:90)t(cid:32)1, cos(cid:90)t(cid:32)0 So, at this time, v(cid:32)(cid:16)b(cid:90) j, a(cid:32)(cid:16)2b(cid:90)2 i So, (cid:84)(cid:17)90(cid:113) 8 CHAPTER 1 1-11. a) Since (cid:11)A(cid:117)B(cid:12) (cid:32)(cid:166)(cid:72) AB , we have i ijk j k jk (A(cid:117)B)(cid:152)C(cid:32)(cid:166)(cid:166)(cid:72) AB C ijk j k i i j,k (cid:32)C (cid:11)A B (cid:16)A B (cid:12)(cid:16)C (cid:11)AB (cid:16)A B (cid:12)(cid:14)C (cid:11)AB (cid:16)A B (cid:12) (1) 1 2 3 3 2 2 1 3 3 1 3 1 2 2 1 C C C A A A A A A 1 2 3 1 2 3 1 2 3 (cid:32) A A A (cid:32)(cid:16) C C C (cid:32) B B B (cid:32)A(cid:152)(cid:11)B(cid:117)C(cid:12) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 B B B B B B C C C 1 2 3 1 2 3 1 2 3 We can also write C C C B B B 1 2 3 1 2 3 (A(cid:117)B)(cid:152)C(cid:32)(cid:16) B B B (cid:32) C C C (cid:32)B(cid:152)(cid:11)C(cid:117)A(cid:12) (2) 1 2 3 1 2 3 A A A A A A 1 2 3 1 2 3 We notice from this result that an even number of permutations leaves the determinant unchanged. b) Consider vectors A and B in the plane defined by e , e . Since the figure defined by A,B, 1 2 C is a parallelepiped, A(cid:117)B(cid:32)e (cid:117) area of the base, but e (cid:152)C(cid:32) altitude of the parallelepiped. 3 3 Then, C(cid:152)(cid:11)A(cid:117)B(cid:12)(cid:32)(cid:11)C(cid:152)e (cid:12)(cid:117) area of the base 3 =altitude (cid:117) area of the base =volumeof the parallelepiped 1-12. O c C a h a– c b c– b A b– a B The distance h from the originO to the plane defined by A,B,C is MATRICES, VECTORS, AND VECTOR CALCULUS 9 a(cid:152)(cid:11)b(cid:16)a(cid:12)(cid:117)(cid:11)c(cid:16)b(cid:12) h(cid:32) (cid:11)b(cid:16)a(cid:12)(cid:117)(cid:11)c(cid:16)b(cid:12) a(cid:152)(cid:11)b(cid:117)c(cid:16)a(cid:117)c(cid:14)a(cid:117)b(cid:12) (cid:32) b(cid:117)c(cid:16)a(cid:117)c(cid:14)a(cid:117)b a(cid:152)b(cid:117)c (cid:32) (1) a(cid:117)b(cid:14)b(cid:117)c(cid:14)c(cid:117)a The area of the triangle ABC is: 1 1 1 A(cid:32) (cid:11)b(cid:16)a(cid:12)(cid:117)(cid:11)c(cid:16)b(cid:12) (cid:32) (cid:11)a(cid:16)c(cid:12)(cid:117)(cid:11)b(cid:16)a(cid:12) (cid:32) (cid:11)c(cid:16)b(cid:12)(cid:117)(cid:11)a(cid:16)c(cid:12) (2) 2 2 2 1-13. Using the Eq. (1.82) in the text, we have A(cid:117)B(cid:32)A(cid:117)(cid:11)A(cid:117)X(cid:12)(cid:32)(cid:11)X(cid:152)A(cid:12)A(cid:16)(cid:11)A(cid:152)A(cid:12)X(cid:32)(cid:73)A(cid:16)A2X from which (cid:11)B(cid:117)A(cid:12)(cid:14)(cid:73)A X(cid:32) A2 1-14. (cid:170)1 2 (cid:16)1(cid:186)(cid:170)2 1 0(cid:186) (cid:170)1 (cid:16)2 1(cid:186) (cid:171) (cid:187)(cid:171) (cid:187) (cid:171) (cid:187) a) AB(cid:32) 0 3 1 0 (cid:16)1 2 (cid:32) 1 (cid:16)2 9 (cid:171) (cid:187)(cid:171) (cid:187) (cid:171) (cid:187) (cid:171)(cid:172)2 0 1 (cid:187)(cid:188)(cid:171)(cid:172)1 1 3(cid:187)(cid:188) (cid:171)(cid:172)5 3 3(cid:187)(cid:188) Expand by the first row. (cid:16)2 9 1 9 1 (cid:16)2 AB (cid:32)1 (cid:14)2 (cid:14)1 3 3 5 3 5 3 AB (cid:32)(cid:16)104 (cid:170)1 2 (cid:16)1(cid:186)(cid:170)2 1(cid:186) (cid:170)9 7(cid:186) (cid:171) (cid:187)(cid:171) (cid:187) (cid:171) (cid:187) b) AC(cid:32) 0 3 1 4 3 (cid:32) 13 9 (cid:171) (cid:187)(cid:171) (cid:187) (cid:171) (cid:187) (cid:171)(cid:172)2 0 1 (cid:187)(cid:188)(cid:171)(cid:172)1 0(cid:187)(cid:188) (cid:171)(cid:172)5 2(cid:187)(cid:188) (cid:170)9 7(cid:186) (cid:171) (cid:187) AC(cid:32) 13 9 (cid:171) (cid:187) (cid:171)(cid:172)5 2(cid:187)(cid:188) 10 CHAPTER 1 (cid:170)1 2 (cid:16)1(cid:186)(cid:170) 8 5 (cid:186) (cid:171) (cid:187)(cid:171) (cid:187) c) ABC(cid:32)A(cid:11)BC(cid:12)(cid:32) 0 3 1 (cid:16)2 (cid:16)3 (cid:171) (cid:187)(cid:171) (cid:187) (cid:171)(cid:172)2 0 1 (cid:187)(cid:188)(cid:171)(cid:172) 9 4 (cid:187)(cid:188) (cid:170)(cid:16)5 (cid:16)5(cid:186) (cid:171) (cid:187) ABC(cid:32) 3 (cid:16)5 (cid:171) (cid:187) (cid:171)(cid:172)25 14(cid:187)(cid:188) d) AB(cid:16)BtAt (cid:32)? (cid:170)1 (cid:16)2 1(cid:186) (cid:171) (cid:187) AB(cid:32) 1 (cid:16)2 9 (from parta) (cid:171) (cid:187) (cid:171)(cid:172)5 3 3(cid:187)(cid:188) (cid:170)2 0 1(cid:186)(cid:170) 1 0 2(cid:186) (cid:170) 1 1 5(cid:186) (cid:171) (cid:187)(cid:171) (cid:187) (cid:171) (cid:187) BtAt (cid:32) 1 (cid:16)1 1 2 3 0 (cid:32) (cid:16)2 (cid:16)2 3 (cid:171) (cid:187)(cid:171) (cid:187) (cid:171) (cid:187) (cid:171)(cid:172)0 2 3(cid:187)(cid:188)(cid:171)(cid:172)(cid:16)1 1 1(cid:187)(cid:188) (cid:171)(cid:172) 1 9 3(cid:187)(cid:188) (cid:170)0 (cid:16)3 (cid:16)4(cid:186) (cid:171) (cid:187) AB(cid:16)BtAt (cid:32) 3 0 6 (cid:171) (cid:187) (cid:171)(cid:172)4 (cid:16)6 0 (cid:187)(cid:188) 1-15. IfA is an orthogonal matrix, then AtA(cid:32)1 (cid:170)1 0 0(cid:186)(cid:170)1 0 0 (cid:186) (cid:170)1 0 0(cid:186) (cid:171) (cid:187)(cid:171) (cid:187) (cid:171) (cid:187) 0 a a 0 a (cid:16)a (cid:32) 0 1 0 (cid:171) (cid:187)(cid:171) (cid:187) (cid:171) (cid:187) (cid:171)(cid:172)0 (cid:16)a a(cid:187)(cid:188)(cid:171)(cid:172)0 a a (cid:187)(cid:188) (cid:171)(cid:172)0 0 1(cid:187)(cid:188) (cid:170)1 0 0 (cid:186) (cid:170)1 0 0(cid:186) (cid:171) (cid:187) (cid:171) (cid:187) 0 2a2 0 (cid:32) 0 1 0 (cid:171) (cid:187) (cid:171) (cid:187) (cid:171)(cid:172)0 0 2a2(cid:187)(cid:188) (cid:171)(cid:172)0 0 1(cid:187)(cid:188) 1 a(cid:32) 2